学園祭ゲームをゲーム理論「仁」で解いてみた

『日経ソフトウエア 2022年9月号』の連載記事「ゲーム理論」で、提携形ゲームの例として、「学園祭ゲーム」が挙げられていました。

3つのサークルが出店して得られる利益は以下のとおり
　(1) 3つのサークルが個別に出店する：
　　　　Aは9万円
　　　　Bは6万円
　　　　Cは3万円
　(2) 2つのサークルが一緒に出店する：
　　　　AとBのペアは23万円（このときCは3万円）
　　　　AとCのペアは20万円（このときBは6万円）
　　　　BとCのペアは11万円（このときAは9万円）
　(3) 3つのサークルが一緒に出店する：
　　　　27万円

3つのサークルが一緒に出店したときの利益の分配をシャープレイ値で解いており、結果は以下のとおりでした。
　　Aが14万円
　　Bが8万円
　　Cが5万円

提携形ゲームにはその他の解もあります。ここではこの問題を仁で解いてみます。

仁は不満の量を小さくするように利益の分配を決める方法です。
3つのサークルが一緒に出店したときの利益の分配を以下のとおりとします。
　　Aの利益は\(x_A\)
　　Bの利益は\(x_B\)
　　Cの利益は\(x_C\)

各サークルが個別に出店した場合、2つのサークルが一緒に出店した場合の不満の量は以下のとおりです。

BとCの不満の量を\(x_A\)で表します。
\(x_A+x_B+x_C=27\)より、\(x_B+x_C=27-x_A\)なので、BとCの不満の量は、
$$
11-(x_B+x_C)=11-(27-x_A)=-16+x_A
$$
となります。

Aの不満\(9-x_A\)、BとCの不満\(-16+x_A\)の大きい方の不満が最小となるのは、
$$
9-x_A=-16+x_A
$$
のときです。
これを解いて、
$$
x_A=12.5
$$
が得られます。

\(x_A=12.5\)のときの不満の量を\(x_B\)で表すと、

となります。
このなかで、最大の不満の量を考えます。
Bの不満の量\(6-x_B\)とAとBの不満の量\(10.5-x_B\)はAとBの不満の量が大きく、Cの不満の量\(-11.5+x_B\)とAとCの不満の量\(-7+x_B\)はAとCの不満の量が大きいです。

この2つの不満の量の大きい方が最小となるのは、
$$
10.5-x_B=-7+x_B
$$
のときです。
これを解いて、
$$
x_B=8.75
$$
が得られます。

\(x_A、x_B\)が求まりましたので、
$$
x_C=27-x_A-x_B=27-12.5-8.75=5.75
$$
となります。

以上より、
　　Aが12.5万円
　　Bが8.75万円
　　Cが5.75万円
が得られました。